HISTORIA DE LA GEOMETRÍA
El
ser humano necesito contar y creo los números, quiso hacer cálculos y definió
las operaciones. Por medio de lo anterior, mas el uso de la lógica, obtuvo los
instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a
diario. El hombre siempre admirador de la naturaleza y todo lo que le rodea fue
ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a
la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría.
La
palabra geometría está formada por las raíces griegas: “geo”, tierra y
“metrón”, medida. La geometría es una de las ciencias más antiguas,
inicialmente constituía un cuerpo de conocimiento práctico en relación con las longitudes,
aéreas y volúmenes. La geometría se preocupa de problemas métricos como el
cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de
cuerpos sólidos.
Aplicaciones
de la Geometría
La
geometría pose múltiples aplicaciones prácticas como por ejemplo en física
aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía,
balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la
elaboración de artesanías.
GEOMETRÍA A TRAVES DE LAS EDADES
Según
lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideo para
aplicarse a la naturaleza nacieron, en forma práctica, a orillas del Río Nilo,
en el Antiguo Egipto, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
En
el siglo III a.C. Euclides configuro la geometría en forma axiomática,
tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la
geometría euclidiana.
Tales visita Egipto una larga
temporada y aprende de los sacerdotes y escribas egipcios lo referente a sus
conocimientos en general. Impresiona ahora, tanto como a los egipcios, que
fuera capaz de razonar y medir entonces la altura de la pirámide de Keops y de
predecir un eclipse solar con asombrosa precisión.
La Geometría griega es la primera en
ser formal. Parte de los
conocimientos concretos y prácticos de las civilizaciones egipcia y
mesopotámicas, y da un paso de abstracción al considerar los objetos como entes
ideales, un cuadrado
cualquiera, en lugar de una pared cuadrada concreta, un círculo en lugar del ojo de un pozo, que pueden ser manipulados mentalmente, con la
sola ayuda de la regla y el compás.
La figura de Pitágoras y de la secta
de seguidores pitagóricos tiene un papel central, pues eleva a la categoría de
elemento primigenio el concepto de número,
arrastrando a la Geometría al centro de su doctrina -en este momento inicial de
la historia de la Matemática aún no existe distinción clara entre Geometría y
Aritmética-, y asienta definitivamente el concepto de demostración formal como
única vía de establecimiento de la verdad en Geometría. Esta actitud permitió
la medición de la tierra por Eratóstenes, así como la medición de la distancia
a la luna, y la invención de la palanca por Arquímedes, varios siglos después.
Después de Euclides
Euclides cierra la etapa de Geometría
griega -a excepción de Pappus en el 350 a.C. y por extensión la etapa del mundo
antiguo y medieval-, a excepción también de las figuras de Arquímedes y
Apolonio.
Arquímedes estudió ampliamente las
secciones cónicas, introduciendo en la Geometría las primeras curvas que no
eran ni rectas ni circunferencias, aparte de su famoso cálculo del volumen de
la esfera, basado en los del cilindro y el cono. Apolonio trabajó en varias
construcciones de tangencias entre círculos, así como en secciones cónicas y
otras curvas.
Los tres problemas de la Antigüedad
La Geometría griega es incapaz de
resolver tres famosos problemas que heredarán los matemáticos posteriores. Los
tres problemas debían ser resueltos entonces utilizando regla y compás, únicos
instrumentos aceptados en la Geometría de Euclides. Añadido a estos tres
problemas, la demostración de si el V postulado es o no es un teorema deducible de los cuatro
anteriores se considera además de otro problema clásico de la Geometría
helenística el hilo conductor hasta las Geometrías No Euclidianas del siglo
XIX. Los tres otros problemas son:
La duplicación el cubo
Pericles muere de la terrible peste
que asola Atenas. Cuenta la leyenda que una terrible peste asolaba la ciudad de
Atenas, hasta el punto de llevar a la muerte a Pericles. Una embajada de la
ciudad fue al oráculo de Delos, consagrado a Apolo (en ciertas fuentes aparece
el oráculo de Delfos, en lugar del de Delos, también consagrado a Apolo), para
consultar qué se debía hacer para erradicar la mortal enfermedad. Tras
consultar al Oráculo, la respuesta fue que se debía duplicar el altar
consagrado a Apolo en la isla de Delos. El altar tenía una peculiaridad: su
forma cúbica. Prontamente, los atenienses construyeron un altar cúbico cuyos
lados eran el doble de las del altar de Delos, pero la peste no cesó, se volvió
más mortífera. Consultado de nuevo, el oráculo advirtió a los atenienses que el
altar no era el doble de grande, sino 8 veces mayor, puesto que el volumen del
cubo es el cubo de su lado ((2l)3 = 23l3 = 8l3). Nadie supo cómo construir un
cubo cuyo volumen fuese exactamente el doble del volumen de otro cubo dado, y
el problema matemático persistió durante siglos (no así la enfermedad).
La trisección del ángulo
Este problema consiste en dividir un
ángulo cualquiera en tres ángulos iguales, empleando únicamente la regla y el
compás, de manera que la suma de las medidas de los nuevos tres ángulos sea
exactamente la medida del primero. Dadas las condiciones nadie ha logrado
hacerlo.
La cuadratura del círculo
La cuadratura del círculo consiste en
tratar de obtener, dado un círculo, un cuadrado cuya área mide exactamente lo
mismo que el área del círculo. Anaxágoras fue el primero en intentar
resolverlo, dibujando en las paredes de su celda cuando fue hecho prisionero
por explicar diversos fenómenos que los griegos atribuían a los dioses. Tampoco
pudo ser resuelto por los geómetras de la antigüedad, y llegó a ser el
paradigma de lo imposible. Como curiosidad, el filósofo inglés David Hume llegó
a escribir un libro con supuestos métodos para resolver el problema. Hume no
tenía conocimientos matemáticos serios, y nunca aceptó que todos sus métodos
fallaban.
Durante los siguientes siglos la
Matemática comienza nuevos caminos, Álgebra y Trigonometría, de la mano de
indios y árabes, y la Geometría apenas tiene nuevas aportaciones, excepto
algunos teoremas de carácter más bien anecdótico. En Occidente, a pesar de que
la Geometría es una de las siete Artes Liberales (encuadrada concretamente en
el Quadrivium), las escuelas y
universidades se limitan a enseñar los Elementos,
y no hay aportaciones, excepto tal vez en la investigación sobre la disputa del
V postulado. Si bien no se llegó a dilucidar en este periodo si era o no
independiente de los otros cuatro, sí se llegaron a dar nuevas formulaciones
equivalentes de este postulado.
La Geometría Proyectiva
Es en el Renacimiento cuando las
nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a ciertos
humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos instrumentos
que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura del
matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero,
de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo algunos.
Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de
sentar las bases formales en la que se asiente las nuevas formas de Geometría
que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios fundamentales
aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría de
Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la Hire, pero debido
al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus métodos, no alcanzó
tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios del siglo XIX de Gaspard
Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.
La Geometría Cartesiana
La aparición de la Geometría
Cartesiana marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo
método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en
Geometría.
El nuevo método se basa en la
siguiente construcción: en un plano se trazan dos rectas perpendiculares (ejes)
-que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra
vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las
distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé
también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada
una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un
signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par
ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la
distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la coordenada x, el signo positivo
(que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del
eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica
que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo
positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba
del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es
negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele
denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del
punto.
Existe una cierta controversia aun hoy
sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica
por primera vez como Geometría
Analítica, apéndice al Discurso
del Método, de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y
utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam
ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas
intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos
franceses tuviera acceso a su obra.
Lo novedoso de la Geometría Analítica
(como también se conoce a este método) es que permite representar figuras
geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una
función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones
polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de
cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2
= 4, la hipérbola xy = 1). Esto convertía toda la Geometría griega en el
estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. Desde
un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta
época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que
usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura
algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del Anillo
de polinomios \mathbb{R}[x,y], resultando que ambas estructuras son
equivalentes. Este hecho fundamental -no visto con nitidez hasta el desarrollo
del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX y
principios del siglo XX-, resulta fundamental para entender por qué la
Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse
directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la
Matemática.
El método original de Descartes no es
exactamente el que se acaba de explicar. Descartes utiliza solamente el eje de
abscisas, calculando el valor de la segunda componente del punto (x,y) mediante
la ecuación de la curva, dándole valores a la magnitud x. Por otro lado,
Descartes sólo considera valores positivos de las cantidades x e y, dado que en
la época aun resultaban "sospechosos" los números negativos. Como
consecuencia, en sus estudios existen ciertas anomalías y aparecen curvas
sesgadas. Con el tiempo se aceptaron las modificaciones que muestran el método
tal y como lo conocemos hoy en día.
Los nuevos métodos
Agotamiento del método sintético
La aparición de la Geometría Analítica
trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método,
algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en establecer unos
axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método
sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados
interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos
resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados
realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya
vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método
algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el
espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto
de raíces de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando
aparezcan las geometrías no euclídeas, y definitivamente deja de ser un
instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando
relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de
problemas, pero ya como una disciplina cerrada.
Los límites del método algebraico
El método algebraico se ve
posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución
de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al
estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no
pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a la
circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará constituyendo una
disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en
salir de unas pocas nociones iníciales, prácticamente inalteradas desde
Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por
radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX,
y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.
El Cálculo Infinitesimal
El método algebraico tiene otra
generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una
ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio
es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo
esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace
de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados,
y las funciones tomarán la forma f(x,y,z).
Ya Isaac Barrow descubre gracias a la
Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el área que
encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow,
antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del
Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría
es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas
no sólo fueron la base de los instrumentos iníciales del Cálculo Infinitesimal,
sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en
un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los
conceptos de curva y de función de una variable (o si se quiere, de curva y los
ceros de una función de dos variables). Fue Euler el primero en empezar a
intuir la diferencia, y el primero también en ampliar este tipo de estudios a
las superficies (como función de dos variables o como el conjunto de los ceros
de una función de tres variables). El trabajo de Monge continúa por esta línea.
En adelante, y hasta la aparición de
Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras
ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. Se
estudia en especial la interpretación geométrica de las ecuaciones
diferenciales (tanto de la solución en sí como problemas asociados a ellas,
como puede ser el de las curvas ortogonales). En esta época aparece el que será
el caballo de batalla de la Geometría Diferencial: el Teorema de la Función
Implícita.
Gauss devuelve el carácter geométrico
que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos
contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría
Diferencial.
Pero no son las únicas contribuciones
de éste genio al campo de la Geometría. En su adolescencia se vio dividido
entre dedicarse a la Filología o a la Matemática. A los 17 descubrió la manera
de construir el polígono regular de 17 lados, y la condición necesaria y
suficiente para que un polígono regular pueda construirse. Esto determinó su
vocación. En su primera demostración del Teorema Fundamental del Álgebra (de
las cinco que realizó a lo largo de su carrera) sentó las bases del Análisis de
Variable Compleja, usando la interpretación geométrica de los números complejos
como vectores fijos del plano (no en este lenguaje, que será introducido mucho
más tarde). Por cierto, se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero
Wessel y luego Argand se le anticiparon, pero nadie conocía los estudios de
ambos. Aunque no es propiamente obra suya, pues la Variable Compleja está desarrollada fundamentalmente por Cauchy,
sí es el primero en abordarla seriamente, y sobre todo le da una interpretación
geométrica que marcará el desarrollo de esta rama.
Pero la principal contribución de
Gauss a la Geometría es la creación de la Geometría Diferencial, retomando las
ideas que sobre las relaciones entre el Análisis Matemático y la Geometría
había hasta entonces y desarrollándolas ampliamente.
Partiendo de la base de que la
Geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la noción
fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la definición
de geodésica, demuestra que si
consideramos que una geodésica es una curva con menor distancia entre dos
puntos sobre una superficie (es decir, si tenemos dos puntos sobre una
superficie, el camino más corto entre esos dos puntos sin salirnos de la superficie
es un segmento de geodésica), concepto totalmente análogo sobre la superficie
al de recta en el plano, existen superficies en las que los triángulos formados
por las geodésicas miden más de la medida de dos ángulos rectos, y otras en las
que mide menos. Esto, esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.
Estas consideraciones llevaron a Gauss
a considerar la posibilidad de crear geometrías no euclídeas, pero aunque a
esas alturas ya era el matemático más prestigioso de Europa, consideró que la
mentalidad de la época no estaba preparada para un resultado de tal magnitud, y
nunca publicó esos resultados. Sólo vieron la luz cuando Bolyai publicó su
geometría no euclídea, y comprobó que la comunidad científica general aceptaba
el resultado. Así que, por un lado, Gauss fue el primero en crear una geometría
no euclídea, y por otro fue el creador de la Geometría Diferencial y precursor
de la Variable Compleja. Además, Gauss es el primero en considerar una nueva
propiedad en la Geometría: la orientación.
WEBGRAFÍA
http://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclo-basico/matematica/geometria/2009/12/102-86
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